Morrey空间及其在偏微分方程中的应用

1. Morrey空间的基本定义

Morrey空间是函数空间理论中用于研究局部可积函数的重要类

1.1 函数定义

设Ω⊂ℝⁿ为开集，函数u:Ω→ℝ属于Morrey空间Mᵏₚ(Ω)当且仅当

• u在Ω的每个紧子集上局部可积
• 存在常数C>0，使得对任意x∈Ω和R>0满足

∫_{B(x,R)} |u|ᵖ dx ≤ C R^{n−k}

1.2 范数计算

Morrey空间范数定义为

||u||{Mᵏₚ}=sup{B(x,R)} R^{k−n/p} (∫_{B(x,R)} |u|ᵖ dx)^{1/p}

2. 主要性质

2.1 紧性定理

Mᵏₚ(Ω)中满足

• 一致有界性：||uₙ||_{Mᵏₚ} ≤ M
• 等度连续性：对任意ε>0存在δ>0，当|x−y|<δ时

|uₙ(x)−uₙ(y)| <ε

则序列{uₙ}在Mᵏₚ(Ω)中相对紧

2.2 嵌入定理

当kp>n时，Mᵏₚ(Ω)连续嵌入到C⁰(Ω)

3. 应用领域

3.1 椭圆型偏微分方程

用于研究方程

−Δu = f(x) 在Morrey空间上的解的存在性

3.2 极值问题

解决非线性椭圆方程

−Δu = |u|ᵐ⁻¹u 在M^{1−n/m}_p(Ω)中的极值问题

4. 与其他空间的比较

4.1 与Sobolev空间关系

5. 参考文献

[1] Morrey C B. On the solutions of the Poisson equation in Orlicz spaces. J Reine Angew Math, 1969

[2] Adams D R, Fournier J J. Sobolev Spaces. Academic Press, 2003