8个常用泰勒公式及其应用

1. e^x 的泰勒展开

展开式

当 |x| < ∞ 时，

• 展开式：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + ∞
• 收敛域：全体实数

2. sinx 的泰勒展开

展开式

当 |x| < π 时，

3. cosx 的泰勒展开

展开式

当 |x| < π 时，

• 展开式：cosx = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... + ∞
• 收敛域：全体实数

4. ln(1+x) 的泰勒展开

展开式

当 -1 < x ≤ 1 时，

• 展开式：ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... + ∞
• 收敛域：(-1, 1]

5. (1+x)^α 的泰勒展开

展开式

当 |x| < 1 时，

• 展开式：1 + αx + α(α-1)x²/2 + α(α-1)(α-2)x³/6 + ... + ∞
• 收敛域：|x| < 1

6. tanx 的泰勒展开

展开式

当 |x| < π/2 时，

• 展开式：tanx = x + 2x³/3 + 17x⁵/15 + ... + ∞
• 收敛域：(-π/2, π/2)

7. arcsinx 的泰勒展开

展开式

当 |x| ≤ 1 时，

• 展开式：arcsinx = x + 3x³/8 + 15x⁵/48 + ... + ∞
• 收敛域：[-1, 1]

8. (1+x)^(-1) 的泰勒展开

展开式

当 |x| < 1 时，

• 展开式：1 - x + - + ... + ∞
• 收敛域：(-1, 1)