丘维声数学分析教学要点解析

一、基础理论体系

丘维声教授构建的数学分析课程体系包含四大核心模块：

• 函数与极限理论（占比30%）
• 微分学（占比25%）
• 积分学（占比20%）
• 级数与多元微积分（占比25%）

二、重点章节精讲

2.1 极限理论

核心定理包含：夹逼定理、单调有界定理、柯西收敛准则，其中以单侧极限与振荡间断点的关系为教学难点。

2.2 微分中值定理

四组定理构成完整体系：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式，其中费马定理的几何解释需重点强化。

三、典型教学方法

丘维声提出"三步递进法"：概念解析→定理证明→综合应用，特别注重

• ε-δ语言的双重训练
• 中值定理的连锁应用
• 积分中值定理的变上限函数处理

四、习题训练体系

按难度分级设计：基础题（60%）、提高题（30%）、研究性题目（10%），包含

• 函数性质分析的12类典型问题
• 证明题的7种命题模式

4.1 典型例题解析

以"证明函数f(x)=x²sin(1/x)在x=0处可导但导数不连续"为例，需分三步完成：导数存在性验证、导函数表达式推导、导函数连续性分析。

五、常见误区警示

需特别注意：极限存在与函数连续的关系、泰勒公式的余项估计、积分换元法的适用条件，特别提醒避免将数列极限结论直接推广到函数极限。

5.1 易错题型示例

列举三种典型错误：混淆极限运算顺序、误用洛必达法则、积分区间不考虑奇点，并提供修正方案。

参考文献：丘维声《数学分析》第三版（高等教育出版社）